Una forma completamente nueva de encontrar números primos

Usando un concepto llamado particiones enteras, matemáticos han descubierto una nueva forma de detectar números primos, conectando a la vez dos áreas de las matemáticas de una forma inesperada.

Durante siglos, los números primos han cautivado la imaginación de los matemáticos, quienes continúan buscando nuevos patrones que ayuden a identificarlos y su distribución entre otros números. Los primos son números enteros mayores que 1 y divisibles únicamente por 1 y por sí mismos. Los tres números primos más pequeños son 2, 3 y 5. Es fácil determinar si los números pequeños son primos: simplemente hay que comprobar qué números pueden factorizarlos.

Sin embargo, cuando los matemáticos consideran números grandes, la tarea de discernir cuáles son primos se vuelve rápidamente más difícil. Aunque podría ser práctico comprobar si, por ejemplo, los números 10 o 1.000 tienen más de dos factores, esa estrategia es desfavorable o incluso insostenible para comprobar si números gigantescos son primos o compuestos. Por ejemplo, el mayor número primo conocido, 2 elevado a 136279841 - 1, tiene 41.024.320 dígitos. A primera vista, ese número puede parecer increíblemente grande. Sin embargo, dado que existen infinitos enteros positivos de todos los tamaños, este número es minúsculo comparado con primos aún mayores.

Además, los matemáticos quieren ir más allá del tedioso intento de factorizar números uno por uno para determinar si un entero dado es primo. "Nos interesan los números primos porque hay infinitos, pero es muy difícil identificar patrones en ellos", afirma Ken Ono, matemático de la Universidad de Virginia, citado por Scientific American. Aun así, un objetivo principal es determinar cómo se distribuyen los números primos dentro de conjuntos más amplios de números.

Recientemente, Ono y dos de sus colegas -William Craig, matemático de la Academia Naval de Estados Unidos, y Jan-Willem van Ittersum, matemático de la Universidad de Colonia (Alemania)- identificaron un enfoque completamente nuevo para hallar números primos. "Hemos descrito una infinidad de nuevos criterios para determinar con exactitud el conjunto de números primos, todos muy diferentes de la premisa de que 'si no se puede factorizar, debe ser primo'", afirma Ono. Su artículo, publicado en Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), ofrece una infinidad de nuevas definiciones de lo que significa que los números sean primos, señala Ono.

La estrategia del equipo se basa en un concepto denominado particiones enteras. "La teoría de particiones es muy antigua", afirma Ono. Su origen se remonta al matemático suizo del siglo XVIII Leonhard Euler, y los matemáticos lo han ido ampliando y perfeccionando con el tiempo. "A primera vista, las particiones parecen cosa de niños", afirma Ono. "¿De cuántas maneras se pueden sumar números para obtener otros números?". Por ejemplo, el número 5 tiene siete particiones: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 y 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Sin embargo, el concepto resulta ser una poderosa clave oculta que abre nuevas formas de detectar primos. "Es notable que un objeto combinatorio tan clásico -la función de partición- pueda utilizarse para detectar primos de esta forma tan novedosa", afirma Kathrin Bringmann, matemática de la Universidad de Colonia. (Bringmann ya había trabajado con Ono y Craig, y actualmente es la asesora postdoctoral de van Ittersum, pero no participó en esta investigación). Ono señala que la idea de este enfoque surgió de una pregunta planteada por uno de sus antiguos alumnos, Robert Schneider, quien ahora es matemático en la Universidad Tecnológica de Michigan.

Ono, Craig y van Ittersum demostraron que los números primos son las soluciones de un número infinito de un tipo particular de ecuación polinómica en funciones de partición. Denominadas ecuaciones diofánticas en honor al matemático del siglo III Diofanto de Alejandría (y estudiadas mucho antes que él), estas expresiones pueden tener soluciones enteras o racionales (lo que significa que pueden escribirse como una fracción). En otras palabras, el hallazgo demuestra que "las particiones enteras detectan los primos de infinitas maneras naturales", escribieron los investigadores en su artículo de PNAS.

El descubrimiento va más allá de investigar la distribución de los números primos. "De hecho, estamos dando en el clavo con todos los números primos", afirma Ono. Con este método, se puede introducir un número entero mayor o igual a 2 en ecuaciones particulares, y si estas son verdaderas, entonces el número entero es primo.

"De manera más general", para un tipo particular de función de partición, "demostramos que existen infinitas ecuaciones de detección de primos con coeficientes constantes", escribieron los investigadores en su artículo de PNAS. En pocas palabras, "es casi como si nuestro trabajo ofreciera infinitas definiciones nuevas de primo", afirma Ono. "Es realmente asombroso".

Los hallazgos del equipo podrían conducir a muchos nuevos descubrimientos, señala Bringmann. "Más allá de su interés matemático intrínseco, este trabajo podría inspirar nuevas investigaciones sobre las sorprendentes propiedades algebraicas o analíticas que se esconden en las funciones combinatorias", afirma. En combinatoria (las matemáticas del conteo), las funciones combinatorias se utilizan para describir el número de maneras en que se pueden elegir u ordenar los elementos de un conjunto. "En términos más generales, demuestra la riqueza de las conexiones en matemáticas", añade. "Este tipo de resultados a menudo estimula nuevas ideas en diferentes subcampos".